n体系统的哈密顿量是d^新万博体育网址n维的矩阵

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文章关键词:manbetx体育买球,张量演算法

  张量网络中的张量,和微分几何和GR中的张量场并不完全相同。在微分几何中,一点处的张量是基于流形上该点的切空间的。新万博体育网址一个(m,n)型张量是指将m个协变矢量(余切矢量,cotangent vector)和n个逆变矢量(切矢量,tangent vector)映射到数域上的多重线性映射。取定一组基,这个多重线性映射可以用一系列分量表示出来。这些分量当然和基的选取有关。在张量网络中,我们通常不会去作坐标变换,因此,任何一个具有n个指标的分量集合就称为一个张量。例如,christoffel符号在几何意义上不构成张量,但它是可以出现在张量网络中的。

  量子力学有一个基本假设,复合系统的Hilbert空间是其子系统Hilbert空间的张量积。因此,多体波函数天然就是一个张量。对于n体系统来说,它的波函数是一个n阶张量。当然,由于维数相同的线性空间是同构的,所以也可以把波函数看成一个矢量,这个矢量的维数是d^n。n体系统的哈密顿量是d^n维的矩阵,当然也可以看成一个(n,n)型的张量。单体算子可以看成2阶张量。两体算子可以看成d^2维的二阶张量,也可以看成维数为d的(2,2)型(四阶)张量。

  量子力学中所有可观测量的平均值都可以写成内积,从矩阵的观点看这是二次型。如果波函数是一个张量的形式,算符也可以写成局域张量的求和,那么算符的平均值也可以看作这些张量的缩并的和。

  张量的基本运算包括线性运算、张量积、转置和缩并。当涉及的指标较少,缩并关系简单时我们常用抽象指标记号去作解析运算,例如在GR里。但是,当张量数目多,指标缩并关系复杂时,我们最好能用图形表示它们的缩并关系,这就是张量网络。在张量网络中,n阶张量由带n条外腿的圆圈(或方形、三角形等)表示,每条外腿代表一个指标。如果某两个张量的外腿连成一条线,就代表这两个张量的对应指标缩并。整个图形由张量、内腿(参与缩并的指标)和外腿(不参与缩并的指标)构成。整个图形所表示的张量的阶数就是其外腿的个数。例如,如果一个张量网络用来表示n体系统的波函数,那么它就有n条外腿。

  对于量子多体系统,其一般波函数有d^n个分量,当粒子数较大时,这个数目是天文数字,电脑不可以存储。好在我们知道量子系统的基态一般具有两个性质:1. area law 2. exponential/algebraic decay of correlations.

  首先,任何多体量子系统都可以选取其中L个连续的粒子构成子系统,而子系统与其他部分是有纠缠的。这个纠缠由子系统的约化密度矩阵的本征值刻画。把这些本征值按一定方式组合成一个数,就是纠缠熵(entanglement entropy),记为S。它刻画了这个长为L的子系统与其他部分的纠缠大小。对于一维系统来说,如果这个系统是gapped,那么它的基态具有如下性质:S有和L无关的上界;如果它是gapless,那么它的基态具有如下性质:S的上界和log L成正比。对于N维系统而言,取子系统为一个N维超正方体,边长为L,那么纠缠熵S的上界与这个正方体的表面积成正比,或者对于gapless系统而言,新万博体育网址可以有log L的修正。以上只是对基态和低激发态说的,而凝聚态物理中我们一般也只关心基态和低激发态。对于Hilbert空间中的一般态,其纠缠熵符合volume law,要远远大于基态。

  其次,统计物理表明,系统处在临界点(critical point)附近时,关联长度趋于无穷大,关联函数是按多项式递减的(例如L^(d-2+eta),eta是临界指数,称为反常维度);在系统为gapped的时候,关联函数是指数下降的(对应的临界指数称为dynamical critical exponent或者z)。

  这些性质使得我们在选取系统的波函数时,不需要考虑大部分Hilbert空间的态,从而通过恰当的参数化,减少独立变量的个数。这种参数化是由tensor network描述的。换而言之,用tensor network表述的量子态能很好的符合系统基态的纠缠和关联性质,因此是很好的试验态。其独立参量个数一般只有O(n),甚至O(1)(当系统具有平移不变性时),这使得高效模拟成为可能。

  矩阵乘积态(matrix product states,MPS)是最先被发现和使用的张量网络。它源于人们对密度矩阵重整化群(density matrix renormalization group,DMRG)的原理探究。DMRG是90年代White等人为了模拟量子多体系统提出的算法[1]。它被广泛使用,大获成功的同时,其算法的有效性却没有理论证明。同时,人们发现DMRG不能准确模拟gapless系统。直到00年代人们发现它本质上是使用MPS作为一维量子系统基态的试验态[2]。MPS的纠缠熵有上界,正好符合1维gapped系统的性质。因此在处理critical系统时就会出现一些问题,例如,只有短程行为是准确的(technically,这种现象被称为MPS引入了off-criticality,或者说引入了artifical correlation length)。现在,新万博体育网址MPS被高效地用于无限大一维系统的基态和激发态的模拟中[3][4][5]。同时,对MPS取连续极限可以用它模拟量子场论的基态[6][19]。而笔者本人现在的工作是尽量实现用MPS模拟critical系统,实现对Conformal Field Theory的精确模拟。(这一工作已在会议中展示,文章in preparation)

  投影纠缠对态(projected entangled pair states,PEPS)是MPS在二维的拓展,它比MPS更难操纵,尽管获得了较大成功,但算法复杂度要比MPS高很多。二维系统有很多更有趣的物理性质,例如拓扑序、拓扑相变。PEPS可以用来研究这些性质。[7][8]

  

  除了模拟量子系统,tensor network还广泛运用于经典统计物理、量子化学和机器学习中。由于作者本人对其中的某些领域不熟悉,所以本文也止步于此。

  9. 更新:最近的“张量网络与量子场论”会议上有很多非常精彩的进展。我将会稍后补充,敬请期待。

  简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二阶张量,而三阶张量则好比立体矩阵,更高阶的张量用图形无法表达.度量张量 维基百科,自由的百科全书 (重定向自量度张量) 黎曼几何的度量张量(在物理学上称度规张量)是二阶对称非退化张量用来衡量度量空间中的距离及角度.回

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