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  数 学 年 刊,。模 的自 同 态 环武同锁南京 大 学数学 系,南京提 要本 文讨论 人 疏 模 的 自 同 态 环何时 为 半 完全环 的 问 题 对 于自模 皿,,本 文 证 明 孔劝 若 肛 是 非单 的 直 和 不 可 分 解 模,则 皿 为 皿 的 小 子 模 对 任 意 入 州 模 胚 及 任 意半 单 模,式 皿 ④ 为 半 完全 环 的 充 要条 件 为 卫 是半完全环 本 文 还 证 明 了直 和不 可 分 解 的 拟 投射 人巨 且 模 的 自 同 态环 为 又 局 部 环半 准 素环 而 对 于 非零 的 人 血 投射 模,直 和 不 可 分 解” 等 价 于 “ 尸和不 可 分 解”关 键 词 模,自 同 态 环,半 完 全 环班江 孤 主 主 题 分 类设 是有 单 位 元 的 环,为 右 酉井 模记 习 武,则有 习,双 模 皿 任意 此 模 可 以 从直 和 项 中 幂 消去 若 叮 ①丝① 了,则有二使”了 吟 但是 对于七模 万,以 下 问 题仍未 得到解 决习 是 否 为 半 局 部环习 是 否 有。 恤 。 幼是 否 可 以 从直 和 项 中消 去 氏 卜显然“有肯定 的解答 劳 有 肯 定 的 答 案 片 有 肯定 的 解 答”关 于 问 题,目 前 已 知的 结果有 若 为 交换 环,则 厅 恒 为 半 局部环 山 若 有有 限 的长 度,则 习 为半 准 素 环 具 有幂零根 的 半 局 部 环。 等人在 习中 还 证 明 了,任 意 交 换 让半 局 部 环 都 可 以 看成一 个桩模 的 自 同 态 环,从 而 指 出不 可 分解的桩模 的 自 同 态环 未 必 一 定 是 局 部 环本文讨 论 右 模 的 自 同 态 环 如非 特别声 明,所 有 的 模 都 是桩模,对 于 模形。 ,以 表示的 基 座,简 记 为 习 万,以万 表 示的 根,心 皿 则 简 记为 刀 卫 其 它 用 到 的概念及熟知结果 可 在 「, ,中 找 到,县 模引理,对 于 万为 万 的小 子 模证 若 门 了 不 是的 任 意 子 模,有一 个满 足 了 万 的 极 小 子 模 了 了万 的小 子 模,取 使 得 门 了石叮 的 极 小子 模 石,泌 笋 叮 对本义, , 写 年月 日 收到,涎 年 月 妞 日收 到 修改 稿 ,数 学 年 刊卷 辑于二〔有二 一 罗,其 中 夕 任 了,任 于 是。 任从而有二任 门 了 十即有 二 门 了 十 同理 有 了 里 门 了 了 门 于 是一了十 了。由 了 的 取 法 得 到一 了即 了 二 从而 有一 石矛 盾定 理 任 意桩模春 分 解①,其 中 半 单 而 《 此 时为 万 的小子 模证 取 使 得 月 的极 小 子 模 命 了 门 习 形,尽 万④,则由 引理 及 万了十即 得到一注 意 到 二 了石,就得 到 的直 和 分 解 万 ①设 尽 十,则石 十 召 习一 肛由 二 得 到即 尽 《 万 由 此显 然 可 得 召 《 万推 论 若 是 一 个 非 单 的 不 可 分解 模,则。为 的小 子 模推 论马对 于桩模,以 下 说 法 等价是 半 单 模助 的 极 小子 模都 不 是 小 子 模叮 的 极小 子 模 都 是 的直 和 项号 模 的自 同态 环引 理 马命一〔 刀皿。,匆 任《,则 与 都是 刀 的 理 想,且 为 幂 零理 想么 二刃,二证 易 知,都 是 刃 的 理 想 由 于 为七模,故而里 刀份」可逆,方 任 铃。二为 单 射,任由 此 即 知 二 而 对 于任,存在。,使得皿夕”夕”从 而 有 少一 万,亦 即 尹一这 样 为 刀 的 诣零理 想,二 刃 由〕 可 知 为 刀 万 的幂 零理 想下述 的 命 题 沼 可 从 团五直 接得到 在 这 里,将 给 出 一 个 直 接 的 简 单 证 明由引 理 可 得 到一 个 环 同 态单 射尹 刀一习后 者为七 运半 单 环 若 皿 为 拟 内射模,由定 义 即 知俨 为环 同 构注 意 到么 二 刃卫,而 泞 万 为 半 单 环,从而 必 有 刃 万 于 是 得到命 题 若 卫 为 拟 内 射 的“ 模,则 皿 的 根 为 而 且 刀 为 半 完 全 部 环万之 刀 尽万称 模 为 拟 投射模,若 对 于 下图 期武同锁此模 的 自 同 态环,总 有 尹 使 之 成为 交 换 图 拟 投 射 模类 自然包 含 了 投 射 模 类 对 于 拟投 射 模 万,由 〔」 的 证 明 即 知 刀 的 根恰好 为 引 理士 中 的命题 对 于 拟投 射桩模笋 ,力刃 为 半 准素环若 还是 直 和不 可 分解的,则 为 局 部 环证 对 于〔 刀,取 使 得 尸一十的 极 小 子 模,由 引 理 厂 门 《考 虑河自工净了 一。一由 的 拟 投射性 即 知 有 使 上 图 成 为 交 换 图 对 于二〔,由二 一 了好 劝,可 知有一好二 《,从而 有一 了好 〔尹,即 面 丁万 为一 个 正 则 环由 引理 知道丑 尸 为 刃 的 幂 零理 想若 刃 不 是半 局 部 环,则刀中有无穷 多 个 两 两正 交 的 非 零 幂 等元 瓦,乱,百,⋯,且可 以 把 它 们 两两正 交 地 提升 到 刀 尸 中 去兔,内,⋯这样 得到二的一 个 子 模 ①这 与 为桩井 模 的 假 设是矛 盾 的因 此 刀 必 为 半 准素 环若 还 是 不 可 分解 模,则 刀 只 有一 个 非 零 幂 等 元 对 于 任丑侧,若 了 笋 则 有 歹 使 了歹一了 动笋 。,提 升 到 刀 中去 即 得 到 石 一,从而 了为 刀 的 可逆 元 于 是 刃 为局 部 环称 任 意 模 未 必 是 纬 的 为和不 可 分解 模,是 指 皿 不 能 写 成 两 个真 子 模 的 和,〕和不 可分 解 模 当 然 是 直 和 不 可 分 解的 容 易证 明,是 和 不 可 分 解 模 件 的 任意同态 像 均 为 直和 不 可 分 解模 份 万 的 任 意 真 子 模 都是其 小 子 模 若 皿 有极 大子 模,则“ 万为 和不可分 解 模 特 万 为 万 的小 子模 和 极 大 子 模 朴 万 为 万 的 最 大 之 真 子模”对 于 投 射 模 尸 笋,恒有 极 大 子 模 于 是 有 如 下 的推 论推 论 马 对 于 投射 模 尸 笋,以 下说 法 等价为和不 可 分解 模为 的极大 子 模 和 小 子 模为 的 最 大真 子 模刀 尹 为局 部 环 数 学 年 刊 卷 辑句 刀 为除 环证铃 铃如 上“井”此 时 有 刃丝“ 井句此时 刀、为 满 的“句 井”用反 证 法易 得这 里 的 推 论 即为 〔 〕中的 定 理 它 是。在 年 的一 个 结果推 论 对 于 补 投 射 模笋,以 下 说 法 等 价为和 不 可 分 解 模但 为 直 和 不可分 解 模有 最大的真 子 模刃为 局 部 环证 由推 论 及命题 助 可 得和不 可 分解 的七模 的 自同 态 环 有 一 个 有趣 的性质 其 根包含 了环 中所 有 的 幂零元命题 设 万 为和 不 可 分解 的七模,则 上 的任一 自 同 态或为满 射或 为 幂零元 刀 的 根 包 含 了 其 中 所有 的 幂 零 元证沪 任万,有、使 二 广 十 广 由 此 即 知 或 为 满射 或幂零以表 示 中 所 有 幂 零 元 的 集 合 对 于,〔 及 〔,必 有十 任及户任若十丰,则 了由 于,为 幂零 的,将 导致一同 样 由于不 是 满 射,故而 不 是满 射,即 任 这 证 明 了 为 刀 皿 的诣 零 因 而 幂 零 右 理想,从而有 二 刀县 模 直 和 的 自 同 态 环对 于桩模,依 照 定 理 作分 解一 石 ①,这里 五 为 半单模,《 注 意卫。,。万 ①。,故 而有门从而成为一 个左 习 一 模引理心 万为 半 完全 环 的 充要 条 件 为 武 是 半完全 环证 命 丑一武,凡武,斌,石,武, ,则,为七半单 环 且 有,、刀 卫 三万 月 。对 于 〔 及〔,由 于 为 万 的 左 习一 子模,故 有。二,二。从 而有石即 在 皿 中有从而有二叮 及万 并有二万了 了 、 、注意 到 好 豆 的 《,由 引 理 可 知 呸刀由 环 同 构 期 武同 锁 纽 自 模的 自 同态 环州刀一刀夕万得 到““ ,二 副 一 价“丫 忿 且一、 ”“, , 召 且凡一由 此可 知 “一 。凡下面 证明 互 万 有性 质, 刀” 当 且 仅 当。有 同 样的性质设 刃 有性 质, 州 刀 , ,。 为。的 元 素 满 足。 , 一 。 〔凡,令 百、卜 则巴满 足。 一护 任万于 是有 刀 万 的 幂 等 元二 一,使 得,一到 一一一、、“” 一“一 ”一 、。一〔从而一 。, 一 任 刀 。,旅, ,十 己由 此可 得到归 十“己 ,。易 乙。,。manbetx体育买球 。于 是。为 的幂 等 元且有。一。 任凡,亦 即。 十凡可 以 经 由丑提升 到 凡二 、二 。。 。裤 角 “九, 二 ,。、 , ,,节 , 不石二 、。 。 二 了“、二, , 、 、。 ,、manbetx体育买球反过 来 如果 有 性质, 可几 刃 ”,取 刃 皿 的幂 等 元一 二】十 刀万,则 有一一 一” 一一 、、一 “一犷 一“一 一。 一,十“ 一己 任。,从 而 有 护一 己 任刃 由条 件,凡 中 有 幂 等元,使 得。 一 己 任凡令为 刀 的 幂等元 且 有言,则、一,〔 刀 皿肠这就 证 明了 刀 为 半 完全 环,当 且 仅当 刀 为 半 完 全 环定理 对 于 任 意桩模 及桩半单 模,武 ① 为 半 完全 环,当且 仅 当 斌万 为 半 完 全 环证 设 万 ④,其 中 半单,阳 。 《 则 由 引 理 可 得贰 万 为 半 完全 环 钓 武为 半完 全 环 铃 武 ① 为 半完全 环 证 毕对 于 定 理 中 的 万 和,令月 一仃 任 万 ①且 了 《 卫,一〔 刀 万 ④ 互且对 于 ① 的任 一 直 和 项 单 子 模,好,则 由 引 理 的 证 明过程 得到 群 直和 分解式交 刀 又 形 ① 石 刀叮十 数 学 年 刊卷 辑定 理 沼 对 于 任 意模 万,万,如 果 且二习 万,脚 万,二,则武 户 都 为 半 完全 环 时,武 万 ① 皿,也是半 完 全 环证 完 全类 似 于 引理 的 证 明,可 以 证 明 当 武 尽 万 户,厅 万时 有夕、 、矛“, ① , ,一犷万,,刀万其 中二 且武万,,,武 万,叮作者 感 谢 周 伯埙 教 授 和 伶文廷 教授的 关 怀 和 鼓 励参 考 文 献」。 ,, ,卫 。。 , 、仍 仍 ” 谊”艺 一一〕, ,二,五。 艺 ,彻口 公 。店。瑟名,, ,一七 七。 , 必 。口口,,一皿,,,〕地,,七 七。 ,尸 犷肛 召, ,一连七, , ,卜, ,。,, ,七。 , 了, , ,,即 五,万,皿主昌 ,坦吕 日 ,,勺︸ ︸

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